Statystyka w Życiu
Od prognozy pogody do gier losowych
Fundamenty: Średnia vs Mediana
Średnia arytmetyczna ($\bar{x}$)
$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$
$\frac{\text{Suma wszystkich liczb}}{\text{Ilość liczb}}$
Wrażliwa na wartości skrajne (np. jeden miliarder w grupie).
Mediana ($Me$)
$Me = x_{(\frac{n+1}{2})}$ (dla n nieparz.)
Wartość dokładnie w środku po posortowaniu.
Odporna na wartości skrajne. Mówi o "typowym" przypadku.
Symulacja: Kiedy średnia kłamie?
Mamy małą firmę z 5 pracownikami. Zobacz co się stanie, gdy zatrudnimy Prezesa z ogromną pensją.
1. Prognoza Pogody: Metoda Monte Carlo
Metoda Monte Carlo polega na generowaniu losowych zmiennych i analizowaniu ich rozkładu prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo deszczu $\hat{P}(D)$ estymujemy jako: $$ \hat{P}(D) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \mathbb{1}(X_i) $$ gdzie $N$ to liczba symulacji (tu: 100).
Wynik 100 symulowanych dni
2. Ubezpieczenia: Wartość Oczekiwana
Ubezpieczyciel oblicza tzw. Wartość Oczekiwaną Straty ($E(X)$).
Wartość oczekiwana straty $E(S)$:
$$ E(S) = p \cdot V + (1-p) \cdot 0 $$$$ Cena = E(S) + Marża $$
Mechanizm ubezpieczeń opiera się na statystyce grupowej. Każdy kierowca wpłaca stosunkowo małą kwotę (składkę) do "wspólnego worka". Z tych pieniędzy wypłacane są odszkodowania dla nielicznych pechowców, którzy mieli wypadek.
Firma ubezpieczeniowa nie zgaduje – ona liczy. Jeśli ryzyko wypadku w Twojej grupie wiekowej wynosi 5%, to firma wie, że na 100 kierowców statystycznie 5 będzie potrzebowało wypłaty. Składka musi pokryć te koszty plus zysk firmy.
3. Netflix: Korelacje i Wektory
Wybierz, co lubisz:
Klasyczne Eksperymenty
Prawo Wielkich Liczb (Symulacja Monety)
Matematycznie prawdopodobieństwo orła wynosi $P(O) = 0.5$. W małej próbie wynik może być różny, ale przy $n \to \infty$ zbiega do 50%.
Paradoks Monty’ego Halla
"Witamy w naszym Teleturnieju!"
Wyobraź sobie, że jesteś na scenie. Przed Tobą 3 bramki. Za jedną stoi nowiutki samochód, za pozostałymi dwiema... kozy. Twoim zadaniem jest wybrać właściwą bramkę. Ale to nie koniec emocji... Zagraj sam, a potem zobacz symulację tysiąca gier!
🎮 Zagraj o Samochód!
Wybierz bramkę numer 1, 2 lub 3:
Jedna gra to przypadek. Zobaczmy statystykę:
Dlaczego tak się dzieje? (Wyjaśnienie)
Twój pierwszy wybór miał 1/3 szans na auto. To oznacza, że "wszystkie inne drzwi" łącznie miały 2/3 szans.
Kiedy prowadzący odsłania jedne z pustych drzwi, te "brakujące" 2/3 szansy nie znikają! One przenoszą się na jedyne pozostałe zamknięte drzwi, których nie wybrałeś.
Matematyka jest bezlitosna: zmieniając drzwi, podwajasz swoje szanse na wygraną!